確率変数は、統計実験の結果を数値で表したものです。有限数または 無限 値のシーケンスは離散的であると言われます。実数直線上のある間隔で任意の値をとることができるものは、連続的であると言われます。たとえば、特定の販売店で1日に販売された自動車の数を表す確率変数は離散的ですが、人の体重をキログラム（またはポンド）で表す確率変数は連続的です。
確率変数の確率分布は、確率が確率変数の値にどのように分布しているかを示します。離散確率変数の場合、 バツ 、確率分布は、で表される確率質量関数によって定義されます。 f （（ バツ ）。この関数は、確率変数の各値の確率を提供します。離散確率変数の確率関数の開発では、次の2つの条件を満たす必要があります。（1） f （（ バツ ）は確率変数の各値に対して非負である必要があり、（2）確率変数の各値の確率の合計は1に等しくなければなりません。
連続確率変数は、実数直線上の区間または区間の集合内の任意の値をとることができます。任意の間隔には無限の数の値があるため、確率変数が特定の値をとる確率について話すことは意味がありません。代わりに、連続確率変数が特定の間隔内にある確率が考慮されます。
連続の場合、確率質量関数の対応物は確率密度関数であり、これも次の式で表されます。 f （（ バツ ）。連続確率変数の場合、確率密度関数は、の特定の値での関数の高さまたは値を提供します。 バツ ;確率変数が特定の値をとる確率を直接与えるものではありません。ただし、グラフの下の領域は f （（ バツ ）の積分を計算することによって得られる、ある区間に対応する f （（ バツ ）その間隔で、変数がその間隔内の値をとる確率を提供します。確率密度関数は、次の2つの要件を満たす必要があります。（1） f （（ バツ ）確率変数の各値に対して非負でなければならず、（2） 積分 確率変数のすべての値が1に等しくなければなりません。
確率変数の期待値または平均-で示されます IS （（ バツ ）またはμ-確率変数が想定できる値の加重平均です。離散の場合、重みは確率質量関数によって与えられ、連続の場合、重みは確率密度関数によって与えられます。離散確率変数と連続確率変数の期待値を計算するための式は、それぞれ式2と式3で与えられます。
IS （（ バツ ）=Σ バツ f （（ バツ ） （二）
IS （（ バツ ）=∫ バツ f （（ バツ ）。 d バツ （3）
Var（で表される確率変数の分散 バツ ）またはσ二は、平均からの偏差の2乗の加重平均です。離散の場合、重みは確率質量関数によって与えられ、連続の場合、重みは確率密度関数によって与えられます。離散確率変数と連続確率変数の分散を計算するための式は、それぞれ式4と5で与えられます。ザ・ 標準偏差 σで表されるは、分散の正の平方根です。標準偏差は確率変数と同じ単位で測定され、分散は2乗単位で測定されるため、標準偏差が推奨される測定値であることがよくあります。
どこ（ バツ ）=σ二=Σ（ バツ -μ）二 f （（ バツ ）（4）
どこ（ バツ ）=σ二=∫（ バツ -μ）二 f （（ バツ ）。 d バツ （5）
最も広く使用されている離散確率分布の2つは、二項分布とポアソン分布です。二項確率質量関数（式6）は、次の確率を提供します。 バツ 成功はで発生します n 二項実験の試行。
二項実験には4つの特性があります。（1）次のシーケンスで構成されます。 n 同一の試験; （2）各試行で成功または失敗の2つの結果が可能です。 （3）任意の試行で成功する確率。 p 、トライアルごとに変更されません。 （4）試験は独立しています。たとえば、2年前の自動車の所有者の10％が自動車の電気システムに問題を抱えていることがわかっているとします。 10人の所有者のグループから電気システムの問題を抱えている正確に2人の所有者を見つける確率を計算するには、次のように設定することで二項確率質量関数を使用できます。 n = 10、 バツ = 2、および p =式6では0.1;この場合、確率は0.1937です。
ポアソン確率分布は、特定の期間内に施設に到着した数のモデルとしてよく使用されます。たとえば、確率変数は、15分間に航空会社の予約システムに着信する電話の数として定義される場合があります。 15分間隔での平均到着数がわかっている場合は、式7で与えられるポアソン確率質量関数を使用して次の確率を計算できます。 バツ 到着。
たとえば、15分間に到着するコールの平均数が10であるとします。次の15分以内に5つのコールが着信する確率を計算するには、μ= 10および バツ = 5は式7に代入され、0.0378の確率が得られます。
統計で最も広く使用されている連続確率分布は、正規確率分布です。平均がμ= 50、標準偏差がσ= 5の正規確率密度関数に対応するグラフを次のように示します。。すべての正規分布グラフと同様に、それは釣鐘型の曲線です。正規確率分布の確率は、平均が0で標準偏差が1の正規確率分布である標準正規確率分布の統計テーブルを使用して計算できます。単純な数式を使用して、平均μと標準偏差σの正規確率分布からの任意の値を、標準正規分布の対応する値に変換します。次に、標準正規分布のテーブルを使用して、適切な確率を計算します。
高さは比率または間隔です
正規確率分布図3：平均のある正規確率分布（ μ ）50および標準偏差（ σ ）of5.EncyclopædiaBritannica、Inc。
他にも多くの離散的および連続的な確率分布があります。他の広く使用されている離散分布には、幾何分布、超幾何分布、および負の二項分布が含まれます。他の一般的に使用される連続分布には、均一、指数、ガンマ、カイ2乗、ベータ、 t 、およびF。
