本当 提案 2 + 2 = 4のように、論理的に真であるものに分けることができます 必要性 (必要な命題)、そしてフランスが共和国であるように、そうではないもの(偶発的に真の命題)。同様に、誤った命題は、論理的な必要性によって誤っている(2 + 2 = 5など)もの(不可能な命題)と、そうでないもの(フランスが君主制であるなど)(偶発的に誤った命題)に分けることができます。偶発的に真の命題と偶発的に偽の命題は、まとめて次のように知られています。 偶発的 命題。不可能ではない命題(つまり、必要または偶発的な命題)は、可能性のある命題であると言われます。直感的には、必要性と可能性の概念は次のように結びついています。命題が必要であると言うことは、それが偽である可能性がないことを言うことであり、命題が可能であると言うことは、必ずしも誤りではありません。
特定の命題に対して論理的に不可能である場合、 p 、特定の命題なしで真実であるために、 何 、また真である(つまり、 p とではない- 何 論理的に不可能です)、それからそれは言われています p 厳密に意味する 何 。アン 代替 厳密な概念を説明する同等の方法 含意 それは p 厳密に意味する 何 必要な場合に限り p 実質的に意味する 何 。たとえば、ジョンのネクタイは緋色です。これは、ジョンのネクタイが赤でないと緋色になることは不可能であるため、厳密にはジョンのネクタイが赤であることを意味します(または、ジョンのネクタイが緋色の場合は赤である必要があります)。一般的に、 p の合同です 敷地内 、および 何 演繹的に有効な結論 推論 、 p 厳密に意味します 何 。
今言及した概念—必要性、可能性、不可能性、 不測の事態 、厳密な含意-および他の密接に関連する特定の概念は様相概念として知られており、それらを含む原理を表現するように設計された論理は様相論理と呼ばれます。
このような論理を構築する最も簡単な方法は、いくつかの標準的な非モーダルシステムに、上記のモーダル概念の1つを表すことを目的とした新しいプリミティブ演算子を追加し、それに関して他のモーダル演算子を定義し、特定の特別な公理または変換を追加することです。ルールまたはその両方。非常に多くの様相論理のシステムが構築されていますが、ここでは、基礎となる非様相システムが通常であるいくつかの密接に関連するシステムに注意を限定します。 PC 。
ここで検討するすべてのシステムのwffは同じですが、公理が異なります。 wffsは、PCのシンボルにプリミティブモナド演算子を追加することで指定できます。 L そして、PCの形成規則に対して、αがwffである場合、 L a。 L それが必要であると解釈されることを意図しているので、 L p 次の場合にのみ真になります p 必要な提案です。モナド演算子 M そして、二項演算子ℨ(それぞれ、厳密に含意する可能性があると解釈される)は、必要性、可能性、および厳密の間の関係について上記の非公式な説明を明白な方法で反映する次の定義によって導入できます。含意:αが任意のwffである場合、 M αは〜の略語になります L 〜α; αとβが任意のwffである場合、αℨβはの省略形になります。 L (α⊃β)[または代わりに〜M(α・〜β)]。
真珠湾攻撃でした
Tとして知られるモーダルシステムは、公理としてPCに適した公理のセット(PMの公理など)を持っています。
公理1は、必然的に真実であるものはすべて真実であるという原則を表現し、2は、 何 論理的には p 、その後、 p 必要な真実なので、 何 (つまり、必要な真理から続くものはすべて、それ自体が必要な真理であるということです)。これらの2つの原則は、高度な直感的な妥当性を持っているようであり、1と2は、ほとんどすべてのモーダルシステムの定理です。 Tの変換規則は、均一な置換です。 限界を置く 、およびαが定理である場合はそうであるという効果の規則 L α(必要性のルール)。この規則の直感的な理論的根拠は、健全な公理システムでは、定理αのすべてのインスタンスが単に真であるだけでなく、必ずしも真であると予想されることです。その場合、 L αは真になります。
Tのより単純な定理の中には
そして
Tの定理ではないが、必要性と可能性についての真実を表現するという特定の主張を持っている多くのモーダル公式があります。それらの中には L p ⊃ L L p 、 M p ⊃ L M p 、および p ⊃ L M p 。これらの最初のものは、命題が必要な場合、それが必要であること自体が必要な真実であることを意味します。 2つ目は、命題が可能である場合、その可能性は必要な真実であることを意味します。そして第三は、命題が真実であるならば、それは単に可能であるだけでなく、それが可能であることが必要な真実であることを意味します。これらはすべて、命題が持つモーダル特性(必要性、可能性など)は偶発的な問題ではなく、論理的な考慮事項によって決定されるという一般的な論文のさまざまな要素です。この論文は哲学的に物議を醸すかもしれませんが、少なくとももっともらしいものであり、その結果は調査する価値があります。それらを探索する1つの方法は、上記の式が定理であるモーダルシステムを構築することです。言われたように、これらの公式はどれもTの定理ではありません。しかし、それぞれを追加の公理として一貫してTに追加し、新しいより広範なシステムを作成することができます。を追加して得られるシステム L p ⊃ L L p TへのS4として知られています。を追加して得られたもの M p ⊃ L M p TへのS5として知られています。との追加 p ⊃ L M p to Tは、ここでは略してBと呼ばれるBrouwerianシステム(オランダの数学者L.E.J. Brouwerにちなんで名付けられました)を提供します。
これら4つのシステム間の関係は次のとおりです。S4はTよりも強力です。つまり、Tやその他のすべての定理が含まれています。 BもTよりも強力です。S5はS4よりも強力であり、Bよりも強力です。ただし、S4とBは、それぞれに他にはない定理が含まれているという意味で、互いに独立しています。特に重要なのは、 M p ⊃ L M p Tに追加され、次に L p ⊃ L L p 定理として導出することはできますが、後者をTに追加するだけでは、前者を導出することはできません。
Tの定理ではないS4の定理の例は次のとおりです。 M p ≡ M M p 、 M L M p ⊃ M p 、および( p ℨ 何 )⊃( L p ℨ L 何 )。 S4の定理ではないS5の定理の例は次のとおりです。 L p ≡ M L p 、 L (( p ∨ M 何 )≡( L p ∨ M 何 )、 M (( p ・ L 何 )≡( M p ・ L 何 )、および( L p ℨ L 何 )∨( L 何 ℨ L p )。言及されている他のシステムではなくS5の重要な機能の1つは、途切れのない一連のモナド様相作用素を含むwff( L sまたは M sまたは両方)は、最後の演算子を除いてこれらすべての演算子が削除された同じwffとおそらく同等です。
スペースを考慮すると、他の多くの説明ができなくなります 公理 調査された様相論理のシステム。これらのいくつかはTよりも弱いです。このようなシステムは通常、公理または定理のいずれかとしてTの公理を含みますが、必要性の規則の制限された形式しかありません。別のグループ 構成する S4よりも強力であるが、S5よりも弱いシステム。これらのいくつかは、時間的関係の論理を開発する上で実り多いことが証明されています。さらに別のグループには、S4よりも強力であるが、上記で説明した意味でS5から独立しているシステムが含まれます。
資本 述語 論理はまた作ることによって形成することができます 類似 PCではなくLPCへの追加。
モーダルwffの有効性を定義するタスクは、wff内のすべての変数の真理値が与えられたとしても、wff全体の真理値の計算をどのように設定すべきかが明確でないという事実によって複雑になります。それにもかかわらず、モーダルwffに適用可能な有効性の定義がいくつか与えられており、それぞれが、そのシステムの定理であるwffを有効として引き出すという意味で、いくつかの公理的モーダルシステムと一致することがわかります。すべてではないにしても、これらの妥当性の説明のほとんどは、必要性はすべての可能な世界または考えられる状況において真実であるという考えに形式的な正確さを与えるさまざまな方法と考えることができます。このような最も単純な定義は次のとおりです。最初に(有限または無限)集合を仮定してモデルを構築します。 に 世界の。各世界では、他のすべてとは独立して、各命題変数に値1または値0のいずれかを割り当てます。各世界では、真理関数の値は、その世界の引数の値から通常の方法で計算されます。しかし、それぞれの世界で L αがその世界だけでなく他のすべての世界で値1を持っている場合、αは値1を持つことになります。 に 同様に、それ以外の場合は値0になります。そしてそれぞれの世界で M αがその世界または他の世界のいずれかで値1を持っている場合、αは値1を持つことになります。 に これらのルールにより、の任意の世界で値(1または0)を計算できます。 に 任意のwffに対して、各世界の変数の値が に 指定されています。モデルは、一連のワールドと、今説明した種類の値の割り当てで構成されるものとして定義されます。 wffは、すべてのモデルのすべてのワールドで値が1である場合にのみ有効です。これによって有効なwffsであることが証明できます 基準 まさにS5の定理です。このため、ここで説明する種類のモデルはS5モデルと呼ばれることがあり、定義されたばかりの妥当性はS5妥当性と呼ばれることがあります。
T妥当性の定義(つまり、Tの定理を正確に有効であると証明できるもの)は、次のように与えることができます。Tモデルは一連の世界で構成されます。 に 以前と同様に、各ワールドの各変数への値の割り当て。また、各世界の仕様も含まれています に 、のいくつかのサブセットの に その世界にアクセス可能な世界として。真理関数は以前と同じように評価されますが、モデル内の各世界では、 L αがその世界および他のすべての世界で値1を持っている場合、αは値1を持つことになります。 に アクセス可能であり、それ以外の場合は値が0になります。そして、各世界で、 M αがその世界またはそれにアクセス可能な他の世界のいずれかで値1を持っている場合、αは値1を持ち、それ以外の場合は値0を持ちます(言い換えると、 L αまたは M 特定の世界のαについては、アクセスできない他の世界のαの値は考慮されません。)wffは、すべてのTモデルのすべての世界で値が1である場合にのみ、Tで有効です。
アルメニア人虐殺はどのように終わったのですか
S4モデルは、アクセシビリティ関係が推移的である必要があることを除いて、Tモデルとして定義されます。 に 1、 に 二、および に 3の世界はありますか に 、もし に 1にアクセス可能です に 二そして に 二にアクセス可能です に 3、その後 に 1にアクセス可能です に 3。 wffは、すべてのS4モデルのすべてのワールドで値が1である場合にのみ、S4で有効です。 S4で有効なwffは、正確にS4の定理であることが示されます。最後に、アクセシビリティ関係が対称的であることを要求することによってシステムBに一致するが、推移的であることを要求しない妥当性の定義が取得されます。
4つのシステムすべてについて、有効性に関する効果的な決定手順を示すことができます。説明されている一般的な方法をさらに変更すると、他の多くの公理的モーダルシステムと一致する妥当性の定義が得られ、この方法を適合させて、 直観的 PC。しかし、多くの公理的モーダルシステムについては、妥当性についての十分な説明が考案されていません。妥当性は、前述のLPC妥当性の定義を組み合わせることにより、さまざまなモーダル述語ロジックに対して定義することもできます( 上記を参照 LPCでの妥当性)、モーダルシステムの妥当性の関連する説明がありますが、LPCに基づくモーダルロジックは、LPC自体と同様に、決定不可能なシステムです。
Copyright © 全著作権所有 | asayamind.com